Audio numérique - Algèbre binaire

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Dans cette section on traitera certains aspects de base de l'algèbre binaire nécessaires à la compréhension du fonctionnement des appareils numériques. Il est conseillé, à ceux qui ne possèdent pas ces notions, de s'attarder sur cette section, alors que ceux qui y sont familiarisés peuvent passer directement à la section suivante.

Dans la pratique quotidienne nous avons l'habitude d'utiliser le système décimal, et même en utilisant l'ordinateur nous utilisons ce système. Cependant un ordinateur possède un système de conversion qui traduit les nombres décimaux en une notation différente, préposée au fonctionnement de la couche la plus basse de sa structure, celle des circuits. Cette notation est appelée notation binaire du fait que seuls deux symboles sont permis: 0 et 1. On a recours à cette notation vu les modalités de fonctionnement des microprocesseurs, de quelque type que ce soit. Ces derniers sont des circuits intégrés, c'est-à-dire que y sont intégrés des millions d'éléments, dont chacun est en mesure d'assumer deux états électriques de façon permanente jusqu'à la prochaine modification. Par conséquent, en associant la valeur symbolique 0 à un état électrique et la valeur 1 à l'autre, on peut imaginer d'utiliser de tels circuits pour mémoriser une information.

Dans le système décimal, toutes les fois qu'un chiffre à l'extrême droite d'un nombre arrive à 9, quand il est ultérieurement incrémenté, il revient à zéro et augmente de 1 le chiffre qui se trouve à sa gauche. Le même principe s'applique également au système binaire avec la différence qu'un chiffre retourne à zéro quand il se trouve à l'état "1" et en est incrémenté d'une unité. Les chiffres binaires prennent le nom de bit (binary digit). Voici un exemple qui aide à mieux comprendre le parallèle entre les deux systèmes de numération:

Tableau 18.1. Rapport entre systèmes binaire et décimal 

Numération décimalNumération binaireNombre de bit nécessaires
000001
100011
200102
300112
401003
501013
601103
701113
810004
910014
1010104

On peut observer dans ce tableau que tous les numéros de 0 à 10 sont représentés en utilisant 4 bit; si nous voulions donc construire un appareil en mesure de mémoriser un nombre de 1 à 10, nous utiliserions 4 des circuits déjà cités (chaque circuit permet de mémoriser un chiffre binaire). Il est évident que lors des applications effectives les circuits assument des dimensions et complexités de loin plus grandes. Outre leur faculté de mémoriser les données, les circuits en permettent la manipulation et le transfert de l'un à l'autre. Un nombre binaire de n chiffres permet de représenter 2n nombres décimaux ou mieux encore de représenter tous les nombres décimaux de 0 à 2n-1, et s'il est nécessaire de représenter des nombres décimaux supérieurs on doit ajouter un autre bit à notre nombre binaire initial. Voyons effectivement ce qu'il en est en nous référant au tableau précédent. Nous voyons par exemple que pour représenter tous les nombres 0, 1, 2, 3 nous avons besoin de deux bit seulement, et en fait la formule citée plus haut indique que 22 = 4. De même, pour représenter tous les nombres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7, nous avons besoin de 3 bit (23 = 8). Nous pouvons voir dans le tableau suivant le nombre de bit nécessaires pour représenter des séquences décimales.

Tableau 18.2. Nombre de bit et nombres décimaux représentés 

Nombre de bit (n)Nombres décimaux représentés (2n)
12
24
38
416
532
664
7128
8256
9512
101024
112048
124096
138192
1416384
1532768
1665536

Par exemple, de combien de bit aurais-je besoin pour représenter le nombre 24? D'après le tableau, on peut voir qu'il en faut 5. Vu que le nombre de bit dans les applications courantes est très élevé, on utilise diverses grandeurs pour éviter d'utiliser des nombres avec beaucoup de chiffres. En général on ne parle jamais de bit mais plutôt de byte, où 1 byte équivaut à 8 bit (il existe une autre entité moins utilisée appelée nybble et composée de 4 bit). En pratique on utilise des grandeurs multiples du byte:

Tableau 18.3. Grandeurs binaires 

DénominationNotationDimensions
1 Kilo Byte1 KB1024 Byte
1 Mega Byte1 MB1024 KByte
1 Giga Byte1 GB1024 MByte
1 Tera Byte1 TB1024 GByte







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