Logaritmi e Decibel - Decibels

Una scala descrive il rapporto tra due grandezze. La scala logaritmica si differenzia dalla scala lineare per il fatto che la proporzionalità tra le due grandezze non è costante ma ha un andamento appunto logaritmico. La tabella seguente evidenzia la diversa corrispondenza tra due grandezze X e Y legate da una relazione lineare e logaritmica:

La funzione logaritmo "in base a" è la funzione inversa rispetto alla funzione esponenziale in base a. Le due operazioni inverse sono le seguenti:

La grandezza "a" è detta base del logaritmo .

Più in generale, il logaritmo è una funzione matematica, ossia una relazione tra due grandezze. Come la retta definisce una relazione lineare tra due grandezze il logaritmo definisce una relazione tra due grandezze che è descritta dal grafico seguente:

Grafico di un logaritmo

Osservando i grafici tracciati per diversi valori della base (che in questo caso è >1) osserviamo alcune importanti proprietà:

Completiamo questa breve introduzione ai logaritmi mostrandone le seguenti proprietà:

log_a(A ∙ B) = log_a(A) + log_a(B)

log_a(A / B) = log_a(A) - log_a(B)

log_a(A^b) = b ∙ log_a(A)

Il Bel è definito come il logaritmo del rapporto tra una grandezza e il suo valore di riferimento. 1 Decibel è pari a 1/10 di Bel e il decibel relativo ad una grandezza X generica viene espresso nella forma:

che misura la variazione in decibel della grandezza X rispetto ad un valore di riferimento fissato X₀.

Se per esempio la grandezza che consideriamo è la X e il nostro valore di riferimento è X₀=10, passando da X₀ a X=1000 otteniamo un incremento in dB espresso dalla formula seguente: